Düşündüren Matematik: Sonsuz Sınırsız mıdır?

0

İnsanoğlunun en çok merak ettiği konulardan bir tanesinin sonsuzluk olduğunu söyleyebiliriz. Sonsuz yaşam, sonsuz uzay ya da sonsuz enerji sözlerini sürekli duyarız. Hemen hemen herkesin işaretini bildiği “”, küçük çocukların zorlukla anlamlandırmaya çalıştığı önemli kavramlardan biridir. Açıkçası kavramın öğretimi de kolay değildir.

Matematikte sonsuzluktan bahsedilirken “sayılamaz, sınırsız, çok büyük” gibi ifadelere başvurulur. Peki sonsuzlukla sayılamazlık, sınırsızlık ve çok büyüklük arasında birebir ilişki kurmak doğru mudur?

Sayılabilir olma günümüz matematiğinde önemli bir yer tutar. Bir kümenin sayılabilir olması, sayma sayıları kümesi ya da sayma sayılarının bir alt kümesi ile birebir eşlenebilir olması demektir. Nasıl mı? Örneklerle açıklayalım.

Örnek 1: Sayma sayıları kümesi sayılabilirdir.

Sayma sayıları kümesindeki her bir eleman kendisiyle birebir eşleştirilebilir. Dolayısıyla tanım olarak sayma sayıları kümesiyle eşlenebilen her küme sayılabilir olduğundan sayma sayıları kümesinin kendisi de sayılabilirdir.

image003

Burada önemli olan tek tek sayabilmemiz ve açıkta eleman bırakmamamızdır. Açıkçası saymanın nereye gittiğiyle ilgilenmiyoruz.

Örnek 2:  Rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir.

İşte bunu göstermek gerçekten çok zevkli! Aşağıdaki gibi rasyonel sayıları sıraladığımızı düşünelim.

image004

Kaynak: https://simple.wikipedia.org/wiki/Countable_set

Eğer sadece bir satırı ya da sütunu doğal sayılarla eşlemeye kalkarsanız bu durumda herhangi bir ikinci satırı ya da sütunu eşleme şansınız kalmıyor. Çünkü satırlar ve sütunlar sayma sayıları kadar uzunlukta. Ancak köşegenler boyunca şekilde görüldüğü gibi eşleştirme yapıldığında rasyonel sayıların sayılabilir olduğu görülüyor. Rasyonel sayılar, sayma sayıları kadardır, dahası aynı derecede sonsuzdurlar, yani denktirler.

Görüldüğü gibi sonsuz olsa da sayabiliyoruz. Demek ki sonsuz kavramından bahsederken “sayılamaz” demek pek de doğru değil!

Peki, “sonsuz sınırsız mıdır?” Teknik açıdan bu sorunun ortaya çıkış sebebi, sayma işini sürekli sürdürerek sonsuz kavramına ulaşan öğrencilerin sonsuzu sınırlarla bağdaştıramamasıdır. Özellikle öğrencilerin ilkokul 3 ve 4. sınıflarda karşılaştıkları doğru, düzlem gibi kavramların bunda etkili olduğunu düşünüyorum.

Sayılar için sınır dediğimiz nedir? Aslında bu soruyu çok basit bir biçimde açıklamak mümkün. Örneğin elimizde image005kümesinin olduğunu düşünelim.

Bu kümenin her bir elemanından büyük ya da eşit bir eleman bulabilirseniz A kümesinin üstten sınırlı olduğunu söyleyebilirsiniz. Örneğin 27, 28 ve 1338 sayıları A kümesindeki tüm elemanlardan ya daha büyüktür ya da eşittir. Dolayısıyla A kümesinin bir üst sınırı vardır, yani A kümesi üstten sınırlı bir kümedir. Benzer şekilde, her bir elemanından küçük ya da eşit bir eleman bulabilen kümelere alttan sınırlı kümeler denir. Mesela A kümesi için 3, 2, -1, -1000 sayıları alt sınırdır. Dolayısıyla A kümesi sadece üstten değil aynı zamanda alttan da sınırlıdır. Hem alttan hem de üstten sınırlı olan kümelere kısaca sınırlı kümeler denir. Ne bir alt sınırı ne de bir üst sınırı olan kümelerse sınırsız kümeler olarak adlandırılır.

Sonsuz sayıda elemanı olan doğal sayılar kümesini ele alalım. Bu küme alttan sınırlıdır. Çünkü her bir elemanından küçük ya da eşit bir eleman bulmak mümkündür. Örneğin -1 tüm doğal sayılardan küçüktür. Diğer taraftan doğal sayıların her birinden büyük bir sayı bulamazsınız. Çünkü doğal sayılar sonsuza kadar giderek artar. Dolayısıyla doğal sayılar üstten sınırsızdır.

Şimdi de reel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan [0,1] sayı aralığını düşünelim. 1 sayısı bu aralıktaki tüm sayılardan büyük olduğu için doğal olarak bir üst sınırdır. Benzer şekilde 0 sayısı aralıktaki tüm sayılardan küçük olduğu için bir alt sınırdır. O halde [0,1] aralığının sınırlı bir aralık olduğunu söyleyebiliriz. Peki [0,1] aralığında kaç sayı vardır? Çok! Hatta o kadar çok ki reel sayılar kadar, sayı doğrusundaki her bir nokta kadardır demek yanlış olmaz. Demek ki sonsuz olmak, sınırsız olmak demek de değil. Sonsuz elemanlı olup sınırlı olmak da mümkün! O halde sonsuzu öğrenirken sınırsız kelimesi de bizi yanıltabilir!

“Sonsuz çok büyüktür” demek de benzer şekilde sorunlu mudur? Aynen öyle! Hatta bu matematiğin en güzel ve en özel sayılarını dışlamak demektir. “Sonsuz küçükler hesapları” analizin yapı taşıdır diyebiliriz. Bu durumu açıklamak için sevgili Newton’a atıf yapalım ve bir elma düşünelim. Elmamızı ikiye bölelim ve elimize bir parçasını alalım. Bu işlemi sürekli sürdürürsek (aramızda bazen sonsuza dek sürdürürsek deriz) elimizdeki elma yok olur mu? Aslında olmaz ama o kadar küçülür ki neredeyse hiç kalmaz, yani sıfıra çok yakındır ama inanın ne kadar yakın onu bile bilemiyoruz. İşte biz bu kadar küçük şeylerin sonsuz küçüklükte olduğunu söylüyoruz. Sonsuz küçükler sayesinde birçok hesabın çok daha kolay yapıldığını söyleyebiliriz. O halde sonsuz kavramından bahsederken bastıra bastıra çok büyük demek de pek iyi gözükmüyor.

Peki, sonsuz nedir?

Sonsuz kavramının tanımını yapan kişi Cantor’dur. Alman matematikçi ayrıca reel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyük olduğunu da ispatlamıştı! Nasıl yani, “birbirinden büyük sonsuzlar mı?” Aynen öyle. Bunu başka bir yazıya bırakacağız. Şimdi, Cantor’un sonsuz tanımını açıklayalım.

Tanım 1 (Denk Kümeler) :

İki küme arasında 1-1 eşleme (açıkta eleman kalmamalı) yapmak mümkünse kümeler denktir.

Tanım 2 (Sonsuz Küme) :

Kendisi ve boş küme hariç herhangi bir alt kümesine (öz alt küme) 1-1 eşlenebilen kümeye sonsuz küme denir.

Nasıl mı? Aslında yıllardır yapıyorsunuz, belki de farkında değilsiniz. Doğal sayıları ve çift doğal sayıları düşünelim. Çift doğal sayılar, doğal sayıların bir öz alt kümesidir, çünkü her elemanı doğal sayılar kümesinin de elemanıdır. Aşağıdaki gibi bir eşleme yaparsanız ne doğal sayılarda ne de çift doğal sayılarda hiçbir eleman açıkta kalmaz, yani 1-1 eşlenebilir ve denktirler. Düşünün kendi öz alt kümesine denk! Ve tabii ki sonlu kümelerde bu mümkün değildir.

image006

Bu durumda Cantor’un tanımıyla sonsuz küme kavramının nasıl enteresan bir hal aldığını görüyoruz. Farkında mısınız? Cantor, sonsuz küme tanımında “sayılamaz, sınırsız, çok büyük” gibi kelimelerden hiçbirini kullanmamıştır. Açıkçası bu kelimelerden hiçbiri sonsuz kavramını doğru şekilde aktarmak için uygun değildir.

Meraklı okuyucularımız için bir soru: Reel sayıların sayılamaz bir küme olduğunu ispatlayabilir misiniz? (Bence matematikteki en özel ispatlardan biridir.)

Cevabı doğrudan bana yollayabilirsiniz. Sevgiyle ve bol bol düşünmeyle kalın!

E-posta: burak.karabey@deu.edu.tr

 

http://bilimgenc.tubitak.gov.tr/

Yazıyı Paylaşın:

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.